数学: 『トポロジーの基礎 上』補足（定理1.2.11）

本記事では，河澄響矢『トポロジーの基礎 上』（東京大学出版会，2023年第2刷）の定理1.2.11の証明の修正を行います．（修正案における）記法はなるべく著者のものを尊重します．

修正箇所

訂正を要すると思われるのは，次の部分です（p.23, l.4）:

また， x_0, \, x_1 が第一の部分集合から来ている場合は l([k_0/N, \, k_1/N]) \subset U および l([k_{m-1}/N, \, k_m/N]) \subset U
であるとしてよい．第二，第三の部分集合についても同様である．

これはうまくいきません．実際，図1のとおりに x_0, \, x_1 \in X，道 l， X の開被覆 U, \, V を設定すると，（本文を素直に読む場合） x_0, \, x_1 は第一の部分集合から来ているとするしかありませんが， l( [ k_0/N, \, k_1/N ] ) \not\subset Uです．
一般に， x_0 と x_1 が U と V それぞれに属するかどうかの情報だけで l( [ k_0/N, \, k_1/N ] ) や l( [ k_{m-1}/N, \, k_m/N ] ) が U と V それぞれに包まれるかどうかを復元できるとは限りません．

図1. 反例

証明の3段目「 \mathop{\mathrm{Ker}} j \subset \mathop{\mathrm{Im}} i」を，本文を差し替えるかたちで修正します．ダッシュ "——" は，その前後が一致する本文を連結に抜き書きし，中間の記載を省略したことを意味します．

修正証明

H_0(U) \oplus H_0(V) は —— と書くことにする．このとき，補題1.2.2 (3) により \mathop{\mathrm{Ker}} j \subset \mathbb{Z}( \pi_0(U) \amalg \pi_0(V)) は4つの部分集合

S_{PQ} := \left\{ [x_0]_P - [x_1]_Q ; \, x_0 \in P, \, x_1 \in Q, \, [x_0]_X = [x_1]_X \right\}, \quad \mathrm{where} \ P, \, Q \in \{ U, \, V \}
の和集合によって生成される．これらが —— 証明すればよい．任意の P, \, Q \in \{U, \, V\} と z \in P \cap Q に対して合同式 [z]_P \equiv [z]_Q \, (\mathrm{mod} \mathop{\mathrm{Im}} i) がなりたつ． P \neq Q のとき \{P, \, Q\} = \{U, \, V\} で， ([z]_U, \, -[z]_V) \in \mathop{\mathrm{Im}} i だからである．
いま， x_0, \, x_1 \in X を S_{PQ} の元にあるものとする． [x_0]_X = [x_1]_X だから，—— l([k_{j-1}/N, \, k_j/N]) \subset V を充たす．二番目の条件より —— がなりたつ．さて，ある P', \, Q' \in \{U, \, V\} が存在して， l([ k_0/N, \, k_1/N ]) \subset P' および l( [ k_{m-1}/N, \, k_m/N ] ) \subset Q' を充たす．よって x_0 = l(k_0/N) \in P' および x_1 = l(k_m/N) \in Q' だから， [x_0]_{P'} \equiv [l(k_1/N)]_{P'} \equiv [l(k_{m-1}/N)]_{Q'} \equiv [x_1]_{Q'} \, (\mathrm{mod} \mathop{\mathrm{Im}} i) である．したがって， \mathop{\mathrm{Im}} i を modulo として， x_0 \in P \cap P' より [x_0]_P \equiv [x_0]_{P'}， x_1 \in Q \cap Q' より [x_1]_Q \equiv [x_1]_{Q'} がなりたつ．つまり [x_0]_P - [x_1]_Q \in \mathop{\mathrm{Im}} i \subset H_0(U) \oplus H_0(V) となる．これが示すべきことであった． \square

LaTeX: upLaTeXでdvipdfmxが動かなくなったとき

LaTeX

（注意: 特に構成を考えずに書いているので，文章が非常にだらついたり，情報が不十分なままになったりする可能性があります．また，筆者は LaTeX 等に関する技術的な話に明るくありません．）

背景

筆者は Windows 用 TeXworks (TeX Live 2024) を利用して，upLaTeX + dvipdfmx で文書を作成している．
あるとき mktexlsr したところ*1，upLaTeX が日本語文書の出力に失敗した．実験してみると，次のことがわかった:

  • pLaTeX + dvipdfmx は問題なく動作する．
  • 日本語を含まない（英文だけの）文書は upLaTeX + dvipdfmx でも出力できる．
  • dvi ファイルまでは問題なく出力できており，pdf ファイルが出力できていない: 問題の直接の原因は dvipdfmx にあるらしい．

また，TeXworks には次のことを言われた: 

mktexpk: could not locate a virtual/physical font for tfm "upgbm-h".

とか

mktexpk: could not locate a virtual/physical font for tfm "uprml-h".

とか*2．この問題を解決する．

解決

まず，dvipdfmx.cfg を探し出す．筆者の場合は

C:\texlive\2024\texmf-dist\dvipdfmx\dvipdfmx.cfg

にあった．この一番下の方に，

% the following file is generated by updmap(-sys) from the 
% KanjiMap entries in the updmap.cfg file.
f kanjix.map
% minimal example for Chinese and Korean users
% improvements please to tex-live@tug.org
f ckx.map

と書かれている．この "f kanjix.map" の直後に，次の一行を追加する．

f uptex-haranoaji.map

これで問題は解決される（はずである）．

補足

TeXworks に言われた言葉のうち "upgbm-h" とか "uprml-h" からわかるように，筆者はフォントの設定をデフォルトのまま TeXworks を使用している．そのとき使用しているフォントはコマンドプロンプトから

> kanji-config-updmap status

で調べられる [1] ．筆者の場合は，次の結果が返ってきた: 

CURRENT family for ja: haranoaji (variant: -04)
Standby family : bizud
Standby family : haranoaji
Standby family : ipa
Standby family : ipaex
Standby family : ms
Standby family : yu-win10

使用しているフォントは「原ノ味フォント」である．
ところで，kanjix.map の場所は，コマンドプロンプトに

> kpsewhich kanjix.map

と訊くと返ってくる．筆者の場合は

c:/texlive/texmf-local/fonts/map/dvipdfmx/updmap/kanjix.map

だった．この場所に kanjix.map を探しに行って中身を読んでみると，なんと "upgbm-h" も "uprml-h" 書かれていない．彼らはどこにいるのかというと，また別のファイル，例えば uptex-haranoaji.map の中にいる．このファイルは筆者の場合

c:/texlive/2024/texmf-dist/fonts/map/dvipdfmx/ptex-fontmaps/haranoaji/uptex-haranoaji.map

にあった．状況から察するに，このとき dvpidfmx は kanjix.map を見るばかりで，本当に必要な（例えば）uptex-haranoaji.map を発見できていなかったのだろう．実際，dvipdfmx.cfg にuptex-haranoaji.map を書き込んだ結果，問題は解決された．

余談

解決策は，[2, 3] に行き当たって思いついた．
この問題に際して，TeX Live を再インストールしたものの，それでも解決しなかった．TeX Live は数年前（2021？）から使っており，kanjix.map は texmf-local に存在しているので，そのときのものが残ったままだったのかもしれない．しかしながら，TeX Live 2024 自体は少し前から使っていたので，kanjix.map における件の欠落が今になって発火するのは不自然な気もする．mktexlsr が着火材になったのだろうか？
なお，mktexlsr は新しい sty ファイル S を texmf-local に配置したことから必要に駆られて実行したのだが， S が悪さをしたとも考えられる． S 中では expl3 を扱っているのだが，それが原因なのだろうか？
この解決策は逆用できることがあるらしく， dvpidfmx.cfg に追加した

f uptex-haranoaji.map

をコメントアウトすると，（少し時間が経った後，または S を使用すると）問題が再発する．

参考文献

[1] https://ctan.math.washington.edu/tex-archive/fonts/ptex-fontmaps/kanji-config-updmap.pdf
[2] 名月記: texlive(w/ texshop)環境：dvipdfmxが通らなくなったときの対処
[3] dvipdfmxでpdfに変換できない - I am a wannabe.

*1:これが直接の原因だったのかはわからない．「余談」も参照．

*2:これは「ログの表示」の一番下から少し上の部分に出てくる．

数学: 『曲率とトポロジー』正誤表（作成中）

本記事は，河野俊丈『曲率とトポロジー 曲面の幾何から宇宙のかたちへ』（東京大学出版会，2021年初版）の記述のうち，修正を要すると思われる部分を（発見できた範囲で）列挙したものです．軽微な修正は *印 で明示しました．論理的な誤りは掲載しましたが，それ以外の部分について修正を要すると思われるかどうかは，掲載者の一部独断によります．実際に修正を要する部分の全部は，ここに掲載されたものには限らないかもしれません．

次の部分について確認しました: 第0-3章．

（次の部分は現在確認中です: 第5章．）

見出しは「ページ数: その概要」で統一しています．形式は原則，該当部分とその訂正例の併記とします．別行立ての数式はそのものだけを掲載します．それ以外は，前後の部分もあわせて掲載します．

正誤表の作成は，本書の自主ゼミに参加した友人の協力にもよります．この場を借りて感謝申し上げます．

第1章 曲線の曲率

p.25: 例1.3.1，螺旋の捩率

該当部: \displaystyle{\tau = \frac{a^2+h^2}{h}}
修正案: \displaystyle{\tau = \frac{h}{a^2+h^2}}

第2章 曲面の計量と曲率

p.37: 式(2.3.3)

該当部: \| \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} \|^2 = \det M \, {}^t \! M = \langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{a} \rangle \langle \boldsymbol{b}, \boldsymbol{b} \rangle - 2 \langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \rangle
修正案: \| \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} \|^2 = \det M \, {}^t \! M = \langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{a} \rangle \langle \boldsymbol{b}, \boldsymbol{b} \rangle - \langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \rangle^2

*p.50: 脱字

該当部: 擬球はトラクトリスを x 軸の周りに回転して得られる曲面である．
修正案: 擬球はトラクトリクスを x 軸の周りに回転して得られる曲面である．

p.51: 命題2.6.1，証明中の曲率

該当部: \displaystyle{ K = \frac{f'g'' - f''g'}{f^2} }
修正案: \displaystyle{ K = \frac{(f'g'' - f''g')g'}{f} }

第3章 曲面上の幾何学

*p.60: 細字

該当部: 曲面上の曲線 \boldsymbol{c}(t) = p(u_1(t), u_2(t)) を考える．
修正案: 曲面上の曲線 \boldsymbol{c}(t) = \boldsymbol{p}(u_1(t), u_2(t)) を考える．

*p.69: 句読点

該当部: で定める，これは U 上の 2 次微分形式である．
修正案: で定める．これは U 上の 2 次微分形式である．

p.72: 写像の取り違え

該当部: \omega_{31} \wedge \omega_{32} は S^2 への写像 \gamma \circ \boldsymbol{n} の向きまでこめた面積要素を表す．
修正案: \omega_{31} \wedge \omega_{32} は S^2 への写像 \gamma \circ \boldsymbol{p} の向きまでこめた面積要素を表す．

*p.80: 例3.6.2，衍字

該当部: ベクトルを \boldsymbol{v}_1 が辺 BC の接線方向となす角度は \pi - \beta となる．
修正案: ベクトル \boldsymbol{v}_1 が辺 BC の接線方向となす角度は \pi - \beta となる．

第5章 双曲幾何学

*p.97: 助詞の取り替え

該当部: 加速度ベクトル \gamma''(t) が \gamma(t) における H_+ の任意の接ベクトルとのミンコフスキー内積が 0 となることと定義する．
修正案: 加速度ベクトル \gamma''(t) と \gamma(t) における H_+ の任意の接ベクトルとのミンコフスキー内積が 0 となることと定義する．

p.99: ポアンカレ円板の計量の3本目

該当部: \displaystyle{ \left\langle \frac{\partial \boldsymbol{p}}{\partial r}, \frac{\partial \boldsymbol{p}}{\partial r} \right\rangle_m = \frac{4r^2}{(1-r^2)^2} }
修正案: \displaystyle{ \left\langle \frac{\partial \boldsymbol{p}}{\partial \theta}, \frac{\partial \boldsymbol{p}}{\partial \theta} \right\rangle_m = \frac{4r^2}{(1-r^2)^2} }

*p.101: 助詞の位置

該当部: 複素数 z がともに 0 ではない複素数 z_0, z_1 によって
修正案: 複素数 z がともには 0 でない複素数 z_0, z_1 によって

動画(雑記): 動画編集覚書

動画編集に関するメモを，特に体系立てずに残していきます．
自分用のメモなので，前提が違ったり，一般化できない内容もあると思います．
随時更新．

（用語）

  • ノート: 動画用に作成・公開されているpdfファイル．
  • テキスト: 動画中の人物が発話する文字列．
  • 文章: 動画中に画像として表示される文字列等．

一般論

今すぐ手を動かせ

人間は，何かと理由をつけて物事への着手をためらいがちな生き物である．
面倒そう・進捗を生めなさそうな作業であっても，やり始めると案外進む．
こんなものを読んでいる暇があるなら，とっとと手を動かすべきである．

「見たいものが無い」のは強いモチベーションになる

私が見たいものは，将来他の誰かも見たがる．
知は共有するべきである．


ノート関連

ちゃんと手を動かさないと間違える

ノートの行間は，作った本人であろうと埋めた方がいい．
ノートの作成中に間違いに気づくことすらある．
人間は割とすぐ間違える．

喋る順番は考えた方がいい

「Aの話題，Bの話題，またAの話題，またBの話題……」と飛び飛びにするよりも，同じ話題はなるべく繋げた方がよい．
複数の話題を短時間で行き来すると，視聴者は疲れるし，内容もあまり定着しない（だろう）．
内容の再配列をためらうべきではない．

テキストは割といつでも書ける

話すべき内容の具体的な形がテキストなので，内容がある程度固まってさえいれば，夜中であろうとテキストは書ける．
テキストの誤字訂正は（どうせ後で音声として出力するので）修正が楽である．

テキストは何回も音読するべきである

テキストは最終的に音声としても出力される．
音で聞いて違和感があると，本質的な内容の集中が削がれてしまう．
アクセントやイントネーションの調声にも役立つので，テキストは音読するべきである．


調声関連

調声はデフォルトを基準に，しかし手は抜かない

すべてのアクセントやイントネーションを調声し始めると，工数が爆発的に増え，動画が完成しない（か異常に疲れる）．
合成音声の学習データは（基本的に）プロの声なのだから，頼った方がいい．
しかし，デフォルトは絶対ではないので，明確な誤りは一つ一つ丹念に潰す．
工数のために最低限の視聴体験までもを損なってはならない．

音声を何回も聞き直すべきである

全部をAviUtl上に出力してから後で再編集するとなると，非常に手間である．
動画にするときどのタイミングで何の文章を表示するか/消すか を考えながら聞くとよい．

（母音で始まる）記号の直前は一瞬休む

「エス」「エックス」「アルファ」などの直前に0.10s未満の小休止を入れると，聞き取りやすい．

連体詞や補助動詞の周辺は調声箇所をまとめた方がいい

文字数の少ない単語は前後の単語と繋げた方が，アクセントをデフォルトで運用しやすい．
工数が減るので便利である．


映像関連

文章は原則コピペするべきである

書き写すと，間違えてもなかなか気づけない．
コピペ元であるノートは，かなり校正された後のもの（なはず）であるから，ある程度信用してよい．
一応，都度読み直して矛盾等ないことを確認した方がいい．

文章は削除によって作るべきである

ノートの文章はすべて完全文で，動画中の文章は基本その省略形ばかりである．
また一から書くとミスるので，ノートを信用した方がいい．
書き直しは最小限に抑え，それでも入力しなければならないところは，復唱しながらやった方がいい．

文章も音読するべきである

文章はただ動画に表示されるだけであり，量もかなりあるので，音読なしには誤字脱字のチェックが極めて困難である．
文章は動画のデータとは別でまとめてあるから，それを順番に音読する．

夜中に文章を打つべきではない

ミスる．

夜中に動画を作るべきではない

後で見直すと，編集した箇所全体でミスが一様に分布している．
ミスの修正には，実は修正だけではなく発見の作業も必要なので，余計に体力を持っていかれる．
動画そのものは，注意力を保てる昼間に作るべきである．

夜中に動画チェックをしない方がいい

夜中に見ても，動画のミスは（恐らく）昼間ほど発見できない．
注意力を保てる昼間にチェックするべきである．

（後で実験）編集中の動画はなるべく短い間隔で出力してみる

節ごとに出力したとしても，数十分とかが余裕で持って行かれる．
5分以内ごととかに出力した方が，最終的な編集時間を削減できるのではないか？
Divide and Conquer は偉大．

BGMは最後に入れる

途中のテキストが変更になったりすると，本当に困る．
どうぜ再生位置とかフェードの設定は固まっているので，BGMは最後に入れればいい．

SEを入れるのも多分最後でいい

BGMと違って，音を切ったりしなくていいので，これは正直どっちでもいい．
それでも，多分90秒くらいは作業時間を短縮できる．

LaTeX(雑記): numberwithinの再設定

LaTeX

（独自の）パッケージの中でカウンター C の深さを設定している状況において，文書の .tex ファイルのプリアンブルにて C の深さを浅く再設定すると，見た目だけが再設定されて，カウンターがリセットされるタイミングはもとの深さを維持するようである．

例えば，definition カウンターを，

  • パッケージで subsection に設定し，
  • プリアンブルで section に再設定すると，

出力されるカウンターは section.definition の形式になるが，リセットされるタイミングは subsection のままである．

しかしながら，同じく definition カウンターを，

  • パッケージで section に設定し，
  • プリアンブルで subsection に再設定すると，

出力されるカウンターは section.subsection.definition の形式で，subsectionでもリセットされるように（正常に）動作する．

解決法がわからないので，カウンターを浅く再設定したい場合は，とりあえずパッケージを修正するか諦めるかしかない．